我們愛老師 老師愛我們

San Francisco 的 Castro 區是從電影 Milk 裡認識的。老實說我對這部評價不錯的電影沒什麼感覺，但一向嚮往自由反叛的精神，所以把 Castro 列為來 San Francisco 必到的景點。Castro 是美國同志運動裡的重要地標，也是 LGBTQIA(LGBT 早就知道了，這次學到 QIA) 的聚集地, 從 The Mission/16th St. BART 出站往 Castro 的路上可以看到彩虹旗的密度越來越高，壁畫的主題也比較歡樂。

The statement: Let N be a complete Riemannian manifold with boundary. If the dimension of N is less than eight, the boundary of N has non-negative mean curvature with respect to the outward normal and the boundary $\partial N$ has at least two components, then there exists a properly embedded stable codimension-one minimal submanifold in N.

The proof uses geometric measure theory which I don't have a good idea. The note is an attempt to understand the statement in terms of geodesics, the "minimal surface" in a two-dimensional manifold.

I heard a proof of comparison principle a while ago and figured it out today. In GT, they define w=u-v which is quite misleading. In nonlinear PDE, we should better not to substract two solutions. The translation (or other perturbation) is the right way of thinking.

http://dl.dropbox.com/u/23145891/Blog/Comparison%20principle.pdf

A: What happened to your girlfriend? That cute math student?

B: She's no long my girlfriend. She's cheating on me.

課上完時反倒覺得六週其實過得很快，後來也有心得但懶得寫，這就是我的人生寫照，標題應改成教學雜記。

期末考結果是一場災難，平均 60 左右。大部分同學完全不會 Lagrange multiplier, 讓我非常意外和挫折，雖然一部份原因是代數運算能力太差，列出式子卻解不出 x, y, \lambda, 但我忍不住去想，我的表達能力太差，上課沒把觀念講清楚，是否也是這場慘劇的原因。這次至少學個經驗，多變數微分要多花一兩節課，多做例子，盡可能展示各種解方程式時可能遇到的狀況，對基礎不好的美國學生比較有幫助。

1. 這週最後一天是期中考，第一次出大考考卷有些小緊張，所幸效果不錯。我全部題目都從課本習題挑，完全不改數字，除了事先告知同學，還出了一份 practice midterm, 題型跟正式 midterm 完全一樣，前一天課堂上做了一遍給同學看，在 Columbia 考前最後一次上課通常訂為 Review session, 專門用來複習考是重點。在這樣設定下，平均是 79. 跟我心目中 Columbia 學生的程度差不多。題目稍微簡單了點，要是平均在 75 會更好。我的原則是 90~100=A, 80~90=A-, 以下每五分降一級，B+, B, B-, C+, C, C-, 美國不會輕易 fail 學生(除非你沒出席期末考)，而是把表現不及格的全放 C-. 所以我的 C- 是 55 以下。 我所謂效果不錯是指鑑別度很高，好學生 95 以上，程度差的學生 70 以下，沒想到習題程度能達到如此效果。目前期末考策略相同，只要困難的題目多一題就好。同學假如考太高，會要求 A+, 而且有上 80 的同學也不是每個都達 A- 標準。
2. 期中考前兩個同學退選，現在剩 13 人，而我們用的是 150 人大教室，從講台上望下去還蠻冷清的。
3. 終於下定決心要從 Courant and John 裡挑補充作業，全部挑課本習題，大家都 12/10(我還有一題加分題)，班上考最差的同學作業明顯用抄的，我作業成績占 20%, 跟 midterm 一樣，不嚴格一點說不過去。

    第一天就嚇了一跳，原來這裡修 Calc III 前不用先修 Calc II. 我在 Syllabus 還寫 Calc I and II 裡打下得基礎非常重要，開始簡單複習 Calc I,II 學過什麼時同學舉手說沒學過 Calc II, 調查一下發現只有 4/22 學過 Calc II. 我只好說有用到時會重講。查數學系公布的官方 Syllabus, Calc III Chapter 10 只講 10.5(conic section), 這樣整個課程只有講空間曲線斜率時要用到弧長公式，Syllabus 還註明 instructor 出習題時得避開會用到 Calc II 的題目。

    因為我從 10.1 開始教，這樣等於一半都不能講，起初有點忿忿不平，但還是得坦然面對。說真的，Calc II 裏頭教的各式積分技巧是沒必要人人都會，很多系的微積分只用到微分，能思考不同系的需求訂定彈性課程也許是好大學的過人之處。

這個暑假第一次教書，教 Calculus III, 範圍： Stewart(Calculus, Early Transcendentals) Chapter 10(plane curves, polar coordinates), Chapter 12(vectors and R^3), Chapter 13(vector functions, Kepler theorem), Chapter 14(Partial derivatives, Lagrange multipliers)。

碎碎念：

LyX 是吳承弘介紹給我的，是一套免費 TeX 編輯軟體，打入的 TeX code 會馬上變成數學式，不用 compile. Youtube 上有教學影片

http://www.youtube.com/watch?v=m4cEAVmLegg 蠻容易上手的，但也不是看完影片就會，我還是花了一陣子才搞清楚常用的 bibliography, label, align environment, tag, ...如何運作。LyX 有個好處是理論上可以不用按方向鍵，用習慣的人手完全不用移開鍵盤。檔案是 .lyx 格式, 可以匯出成 .tex, .dvi, .pdf, TeX file 的原始碼很接近直接用 WinEdt 打出來的, 前一陣子張樹城老師不是有推薦 Scientific Workplace, 如果只是要用它來打 TeX, 用 LyX 就好.

每天看 ArXiv 大概是數學工作者(以及被 ArXiv 接管的科學領域)不得不有的嗜好。熱情的同學甘之如飴，伸哥說 ArXiv 在美國東岸時間晚上 8 點更新，他們吃完飯後一群同學聚在研究室外的小客廳鑑定當日的文章，讚賞批評皆有。我大概兩三天看一次，每次都深深覺得 Differential Geometry 真是熱門的領域，怎麼這麼多討厭鬼不停的發文章。

每天上 ArXiv.org 有個缺點是 revised version 不會顯示出來。 我之前在看一篇 "Critical points of Wang-Yau quasi-local energy"(Miao Pengzi, Luen-Fai Tam, Naqing Xie), 心想終於有我知道 "其實沒證出什麼" 的文章了。上禮拜 Mu-Tao 寄給我他們的改版 version 2, 我才知道 subscriber 收到的 email 裡除了有新文章的 Title and Abstract 還會講什麼文章有改版. 所以我現在也開始訂 Differential Geometry 的 email.

我大學時念到Cantor關於無限大的那些研究，覺得蠻有趣的。

在他之前的人大都認為無限大是全然違反直覺的，無法以數學來研究它。可是Cantor用簡單的一個定義就把無限大分成兩類了，並且可以研究這兩類之間的差異以及基本性質。

今天是七夕，中國情人節，寫點應景的。

有感於志偉哥的文章 "Yamabe invariant of closed 3-manifolds"，突然想討論我理想中(儘管從未實現)如何為自己讀過的 paper 或書本章節留下紀錄。

7/24 Saturday

Facebook 的 Event 功能很適合懶得一一連絡朋友的我使用，還可以偷邀正妹，說不小心按到就好。(當然正妹不會出席就是了。) 我用了兩次。第一次是 Philharmonic in the Park。 大家坐在 Central Park 的 Great Lawn 上 (真的很大，主持人說現場超過三萬人) 聽 NY Philharmonic 的演出。我約了近 20 個朋友，去了 7 個，但只有 2 個在我的 guest list 中。第二次是 Riverside Park 的 Sunset Concert，這次是 1/10。但總算不是一個人。友人代號：WW

7/21 Wednesday

在2004年與2007年, Bray-Neves和Akutagawa-Neves利用inverse mean curvature flow來計算某些三維流形的Yamabe invariant Y(M). 由他們的工作可以得知, 除了S^3, S^2和S^1的可定向與不可定向積, 以及他們的connected sum之外, closed 3-manifolds的Yamabe invariant全小於等於Y(RP^3). (以下將Y(RP^3)記為Y_2.)

Yamabe invariant是Yamabe quotient Q(u)的inf. 因為我懶得研究怎麼放方程式, 所以就不寫下來了. 總之, 作者在3-mfd或它的covering上造了一個u, 使Q(u)小於等於Y_2.

Math Overflow (請用 Google 搜尋) 一個可以問數學問題的地方--限定是 advanced undergraduate 到 research level 的程度。網站上說此站設立之宗旨主要是要讓做數學的人互相幫助，解決在學習或研究的過程中遇到的"明確的"、"困難的"，但可能並不是新的數學問題。比如 說可能是一個複變的問題，你不知道對不對，普通的教科書也找不到，就可以試試看到這上面問。這個網站很活躍，如果問題不是很奇怪很難回答，通常都會有回 應，至少會有一些討論。除了正常的數學問題，也會有很多數學相關的問題被討論。總之我覺得這個站很有趣。大家可以去看看。

M: O, you may start to ask questions.

O: But this is my first time in a committee.

其實我們想知道的是怎麼唸數學？

題外話，日前我聽一位法律系畢業的同學會定期在 google 鍵入自己的名字看搜尋到什麼，如有私人資訊就盡可能刪除。她日後是要當法官或檢察官的人，行事謹慎。我無聊就打了我自己、林立人、陳志偉、李國x，結果都不錯，我被搜到有 blogger 帳號(帳號不能刪除，就把本名欄位改掉)，之前參加社團被列在幹部名單，手機號碼(去年參加 Times Square 跨年，為了連絡方便)，台大數學系校友資訊。除了手機外其它無關痛癢，那些文章也刪不掉。你們三個名字太好了，除了國x有在教改小組外，好像沒有相關資訊。由於我們 blog 屬於機密，大家以後不要打我的名字吧！(我可以打你們的。尤其 color 幾乎所向無敵嘛。)

在同學桌上看到的。抄起來增加文學素養

夢後樓台高鎖，酒醒簾幕低垂。去年春恨卻來時，落花人獨立，微雨燕雙飛。