每天看 ArXiv 大概是數學工作者(以及被 ArXiv 接管的科學領域)不得不有的嗜好。熱情的同學甘之如飴,伸哥說 ArXiv 在美國東岸時間晚上 8 點更新,他們吃完飯後一群同學聚在研究室外的小客廳鑑定當日的文章,讚賞批評皆有。我大概兩三天看一次,每次都深深覺得 Differential Geometry 真是熱門的領域,怎麼這麼多討厭鬼不停的發文章。
每天上 ArXiv.org 有個缺點是 revised version 不會顯示出來。 我之前在看一篇 "Critical points of Wang-Yau quasi-local energy"(Miao Pengzi, Luen-Fai Tam, Naqing Xie), 心想終於有我知道 "其實沒證出什麼" 的文章了。上禮拜 Mu-Tao 寄給我他們的改版 version 2, 我才知道 subscriber 收到的 email 裡除了有新文章的 Title and Abstract 還會講什麼文章有改版. 所以我現在也開始訂 Differential Geometry 的 email.
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我想推薦大家去 subscribe 的動機來自於禮拜四收到的信,信的最後是兩篇文章的更新
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arXiv:1101.5824
replaced with revised version Wed, 16 Feb 2011 22:02:28 GMT (0kb,I)
Title: Counterexamples to the pseudo-Riemannian Lichnerowicz conjecture
Authors: Andrzej Derdzinski (The Ohio State University)
Categories: math.DG
Comments: This paper has been withdrawn by the author due to a crucial sign
error in the lines following equation (8): the dependence of the expression
in question on cos t and sin t is quartic, and not quadratic as claimed
MSC-class: 53C50
\\ ( http://arxiv.org/abs/1101.5824 , 0kb)
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arXiv:1102.3308
replaced with revised version Thu, 17 Feb 2011 16:09:34 GMT (0kb,I)
Title: Some fully nonlinear problems on manifolds with boundary of negative
admissible curvature
Authors: Aobing Li and Huan Zhu
Categories: math.AP math.DG
Comments: This paper has been withdrawn by the authors. needs to be updated
MSC-class: 35J60, 58J05
\\ ( http://arxiv.org/abs/1102.3308 , 0kb)
我就不加以說明以免對當事者造成二度傷害。
Miao, Tam, Xie 的 version 2 的讓我一新耳目,我感覺 version 2 有發在 Communication of Mathematical Physics 的價值.
我們知道如果在一個 critical point 的兩次微分大於 0, 則這個 cirtical point 是 local minimum. 這個基本性質在無窮維的函數空間不一定對,但大部分情況下用一些 functional analysis 的 argument 仍可得到相同的結論. Miao, Tam, Xie 對 mass functional 驗證這個性質。(當 critical point 是 0 function, 在其他 critical point 的 second variation 還沒人知道 explicit form) 所以我一開始並不覺得這篇文章有多重要。但在 version 2 他們給出一個 second derivative 的充分條件, 幾乎是我能想到最好的。他們主要用到 Reilly formula, 其他論證還蠻基本的。但我知道自己完全不可能寫得出這大概四頁的證明,差距可謂不小。
P.S. 為了 Reilly formula, 我看了 Peter Li 的 Lecture Note. Reilly 推導 Reilly formula 是為了重證 Alexandrov theorem: Any embedded hypersurface of constan mean curvature in Rn is a sphere. Reilly 的證明大概有七步,每步都很簡單, 但他怎麼想到要把這些東西湊在一起? 我目前對這證明相當崇拜。
