本來這個 blog 是要學習玩樂兼顧,偶而應該寫正經的文章。儘管討論數學的 blog 數量遠不如講旅遊心得、寫食記的多,但也夠了,許多瘋子寫的介紹性文章根本只有專家看得懂,而且他們寫的速度比我們讀的還快,雖能增廣見聞,但挫折感往往大過學習的喜悅,譬如 Terrance Tao's blog http://terrytao.wordpress.com/(即使在這樣的情況下,我還是很榮幸能在這個 blog 放 Tao 的連結。)
但我希望能講個輕鬆的故事。
不是學幾何分析(geometric analysis)甚至是幾何流(geometric flow)的人大概不認識 Hamilton,希望有一天能正式介紹他。
Hamilton 課上到一半語出驚人,世界上最爛的 talk 都在 Harvard,最好的則在 Hawaii University。他在 Harvard 聽過不少演講,但講者多半想展現自己的能力,用語精煉,講得飛快無比,他從來沒有不被一堆華麗定義、抽象觀念搞得暈頭轉向,全場只有邀請演講者來的教授聽得懂,而那是因為他已經聽過了。反觀在 Hawaii,去演講的人大半都是順便度假,因此他們會無所不用其極的取悅台下聽眾,這樣才有人再次邀請他去演講/度假。
Hamilton 在那聽過一場令他印象深刻的圖論演講。演講的教授想用數學歸納法證明定理,一個點 trivial,設 n 個點對,要證 對 n+1 個點也成立,但失敗了。一般說來我們會退一步,試著先證明一個比較弱的命題,但他反其道而行,"讓我們證一個更強的定理" 一個點當然還是 trivial (否則就不用混了),設 n 個點對,這時神奇的事發生了,看起來我們要對 n+1 個點證明更強的結論,但我們在 n 個點上有的假設也變強了,靠著多出來的條件,他證明了更好的定理。
我們學到:用數學歸納法時,難的定理有時比較好證。
Maximum principle for parabolic equation 其實是連續的數學歸納法,假設 t=0 對,要證明 t>0 也對。他證明 Ricci flow 上的 Li-Yau-Hamilton Harnack inequality 時,先看在 expanding soliton 上有什麼等式,然後證明換成不等式後在所有 Ricci flow 的解上都對。等號會成立的不等式最難證了,譬如 Gilbarg and Trudinger 上的估計沒有一個會取到等號。Hamilton 最後證出一個 matrix inequality,時多年來數學家只用到取完 trace 的不等式- trace Harnack inequality,但沒人知道如何不通過 matrix inequality 直接證明 trace Harnack.
這似乎是我第一次寫跟數學有關的事,好難寫啊。
