我們愛老師 老師愛我們

在中永和生長了近三十個年頭，直到最近才發現小時候唱的兒歌

--我家門前有小河（新店溪），後面有山坡（烘爐地）--

很符合我的生長環境。所謂有圖有真相，我在住家頂樓拍了小河與山坡。

雖然前方有許多更高的高樓，但仍可見新店溪與河濱風貌，遠方的高架就是環河快速道路。
 

這次來參加研討會，一樣住在Institut Henri Poincare的隔壁－GayLussac旅館。

週一清晨到達之後，我在附近隨便找一家餐廳吃，結果很幸運地找到一家很棒的餐廳－Au Port du Salut。

餐廳不大，但擺設蠻精緻的。有一台直立式鋼琴，似乎偶而會有演奏？

我點了中午套餐，這小碗裝的是開胃菜，是香菇為主的醬，上面灑了少許花椒。

前菜是一盤濃湯，是多種蔬菜熬的，加上一些香料來提味。最後是主菜，因為我沒點甜點。

San Francisco 的 Castro 區是從電影 Milk 裡認識的。老實說我對這部評價不錯的電影沒什麼感覺，但一向嚮往自由反叛的精神，所以把 Castro 列為來 San Francisco 必到的景點。Castro 是美國同志運動裡的重要地標，也是 LGBTQIA(LGBT 早就知道了，這次學到 QIA) 的聚集地, 從 The Mission/16th St. BART 出站往 Castro 的路上可以看到彩虹旗的密度越來越高，壁畫的主題也比較歡樂。

這次參加 San Francisco City Guide 辦的 Walking tour, 從一根大彩虹旗下出發。

彩虹旗原先設計有八種顏色，各有不同含意，後來為了大量印製，把比較貴的粉紅色和深藍色丟掉就變成現在看到的六色彩虹旗。Karen 是我們的導覽，一開始她就大方介紹自己是 bisexual, 我聽了覺得很高興，能跟 bisexual 接觸是很難得的經驗。 我們先從 Castro 後方的安靜社區逛起，San Francisco 以維多利亞時期的建築著稱，在 Castro 可以看得很清楚。

途中看到一些改建的新式建築參雜其中，大部分都很好看，但 Karen 深惡痛絕，直說它們遠不如老房子優雅。Castro 裡處處有驚喜，有人發現 lesbian 相親相愛的證據：

Karen 讓我印象最深刻的是她是這麼熱愛自己所居住的社區與居民，遇到郵差時謝謝他們努力為大家送信，遇到清潔工謝謝他維護環境清潔，介紹房子時屋主剛好探出頭的話會謝謝他讓我們欣賞他家, 中間看到有人在陽台上澆水，Karen 問他能否介紹他家的特色，他還真從 1910 年祖父母蓋這棟房子開始簡述了一下歷史。

The statement: Let N be a complete Riemannian manifold with boundary. If the dimension of N is less than eight, the boundary of N has non-negative mean curvature with respect to the outward normal and the boundary $\partial N$ has at least two components, then there exists a properly embedded stable codimension-one minimal submanifold in N.

The proof uses geometric measure theory which I don't have a good idea. The note is an attempt to understand the statement in terms of geodesics, the "minimal surface" in a two-dimensional manifold.

http://dl.dropbox.com/u/23145891/Blog/The%20repelling%20of%20geodesics%20of%20positive%20curvature.pdf

I heard a proof of comparison principle a while ago and figured it out today. In GT, they define w=u-v which is quite misleading. In nonlinear PDE, we should better not to substract two solutions. The translation (or other perturbation) is the right way of thinking.

http://dl.dropbox.com/u/23145891/Blog/Comparison%20principle.pdf

Last week, a student in the Modern Geometry class showed me a brilliant construction of an orthogonal frame $E_i$ such that $\nabla_{E_i}E_j(p)=0.$ We take a normal coordinates at p and diagonalize coordinate vectors by Gram-Schimidt. We get $E_i = a_i^j \frac{\partial}{\partial x^j}$ where $a_i^j$ only involved $g_{ij}.$ When we compute $\nabla_{E_i}E_j(p)$, each term contains some $\partial_k g_{ij}(p)=0.$

A: What happened to your girlfriend? That cute math student?

B: She's no long my girlfriend. She's cheating on me.

A: What happened?

B: Yesterday I called her and she told me she's on the bed wrestling with three unknowns.

Teacher: Maria, give me sentence starting with the word "I."

課上完時反倒覺得六週其實過得很快，後來也有心得但懶得寫，這就是我的人生寫照，標題應改成教學雜記。

期末考結果是一場災難，平均 60 左右。大部分同學完全不會 Lagrange multiplier, 讓我非常意外和挫折，雖然一部份原因是代數運算能力太差，列出式子卻解不出 x, y, \lambda, 但我忍不住去想，我的表達能力太差，上課沒把觀念講清楚，是否也是這場慘劇的原因。這次至少學個經驗，多變數微分要多花一兩節課，多做例子，盡可能展示各種解方程式時可能遇到的狀況，對基礎不好的美國學生比較有幫助。

考題要檢討的只有一題: 用 Lagrange multiplier 證明 Cauchy-Schwarz inequality. 我猜很多同學看到 summation 符號 \Sigma 就投降了。雖然我有臨時跟大家說只要做出 three variables 的情形可以得到部分分數.Three variables 就真的是標準 Lagrange multiplier with two constraints, (有附提示: Assume \Sigma x_i^2=1, \Sigma y_i^2=1, find the maximum of \Sigma x_i y_i. After this, substitute x_i = \frac{a_i}{\sqrt{\Sigma a_j^2}}, y_i=\frac{b_i}{\sqrt{\Sigma b_j^2}} ...) 但還是沒人做出來，做對的同學本來就會做 n variables 的情形。 不得已的狀況下，啟動我的第一次開根號乘十。

這種狀況下，出題者會陷入兩難，計算複雜的題目很大一部分是在考學生的基礎運算能力，有些老師會認為這模糊焦點，測不出學生對現在這門課的理解，一兩題就夠。但學問本來是整體的，硬要做切割也不自然而且違反社會現實，就像硬在考試，入學管道做手腳解決城鄉教育資源不均的做法。

李渭天傳授我一招； 下課前留五分鐘出一題習題，同學做完才能走，有疑問可以問老師，跟同學討論。這樣可以直接瞭解學生哪裡不懂，也可以增加師生，同學間互動(順便點名)，突然又燃起對教學的熱情，想試試這招是否有效，開始期待明年暑假第二次開課了。當然在此之前要解決英文問題，我的英文真他媽的爛，已經準備好被學生在 evaluation 砲轟了。

網路上逛到的, 在這裡做個記錄, 也跟大家分享.

http://lamington.wordpress.com/about/

1. 這週最後一天是期中考，第一次出大考考卷有些小緊張，所幸效果不錯。我全部題目都從課本習題挑，完全不改數字，除了事先告知同學，還出了一份 practice midterm, 題型跟正式 midterm 完全一樣，前一天課堂上做了一遍給同學看，在 Columbia 考前最後一次上課通常訂為 Review session, 專門用來複習考是重點。在這樣設定下，平均是 79. 跟我心目中 Columbia 學生的程度差不多。題目稍微簡單了點，要是平均在 75 會更好。我的原則是 90~100=A, 80~90=A-, 以下每五分降一級，B+, B, B-, C+, C, C-, 美國不會輕易 fail 學生(除非你沒出席期末考)，而是把表現不及格的全放 C-. 所以我的 C- 是 55 以下。 我所謂效果不錯是指鑑別度很高，好學生 95 以上，程度差的學生 70 以下，沒想到習題程度能達到如此效果。目前期末考策略相同，只要困難的題目多一題就好。同學假如考太高，會要求 A+, 而且有上 80 的同學也不是每個都達 A- 標準。
2. 期中考前兩個同學退選，現在剩 13 人，而我們用的是 150 人大教室，從講台上望下去還蠻冷清的。
3. 終於下定決心要從 Courant and John 裡挑補充作業，全部挑課本習題，大家都 12/10(我還有一題加分題)，班上考最差的同學作業明顯用抄的，我作業成績占 20%, 跟 midterm 一樣，不嚴格一點說不過去。

    第一天就嚇了一跳，原來這裡修 Calc III 前不用先修 Calc II. 我在 Syllabus 還寫 Calc I and II 裡打下得基礎非常重要，開始簡單複習 Calc I,II 學過什麼時同學舉手說沒學過 Calc II, 調查一下發現只有 4/22 學過 Calc II. 我只好說有用到時會重講。查數學系公布的官方 Syllabus, Calc III Chapter 10 只講 10.5(conic section), 這樣整個課程只有講空間曲線斜率時要用到弧長公式，Syllabus 還註明 instructor 出習題時得避開會用到 Calc II 的題目。

    因為我從 10.1 開始教，這樣等於一半都不能講，起初有點忿忿不平，但還是得坦然面對。說真的，Calc II 裏頭教的各式積分技巧是沒必要人人都會，很多系的微積分只用到微分，能思考不同系的需求訂定彈性課程也許是好大學的過人之處。

    總之被我第一堂課無情轟炸後，修課人數銳減至 16 人。儘管我接下來重申會嚴守官方規定那六位同學還是沒有回來。我想這是我的錯，不能怪他們承受不住壓力，我想起第一天上法文聽到老師直接用法文解釋時也挫折感超重，老師頭幾堂課步調應放慢一些，給願意學習但準備不充分的學生機會即使起步慢卻也能搭上車一起欣賞接下來的風景，我現在講圓錐曲線，向量、內積就很簡單，接下來還有 Kepler 三大定律呢!

    但也可能是我講得太爛了。

    教數學對英文的最低需求太低了，如果只抱著能教就好教十年英文也不會進步，跟我教課之前的想像不一樣。

這個暑假第一次教書，教 Calculus III, 範圍： Stewart(Calculus, Early Transcendentals) Chapter 10(plane curves, polar coordinates), Chapter 12(vectors and R^3), Chapter 13(vector functions, Kepler theorem), Chapter 14(Partial derivatives, Lagrange multipliers)。

碎碎念：

1. 本來計畫是一周寫四回 lecture notes, 正式上課時才不用每天備課。結果從法國回來快兩周，第二回還沒寫完。


2. 正式開課前一天(7/4)對著 Rumen 的兔子玩偶試講，第一遍完全不行，嚇得連國慶煙火也不敢去看，第二遍試講還不錯。

LyX 是吳承弘介紹給我的，是一套免費 TeX 編輯軟體，打入的 TeX code 會馬上變成數學式，不用 compile. Youtube 上有教學影片

http://www.youtube.com/watch?v=m4cEAVmLegg 蠻容易上手的，但也不是看完影片就會，我還是花了一陣子才搞清楚常用的 bibliography, label, align environment, tag, ...如何運作。LyX 有個好處是理論上可以不用按方向鍵，用習慣的人手完全不用移開鍵盤。檔案是 .lyx 格式, 可以匯出成 .tex, .dvi, .pdf, TeX file 的原始碼很接近直接用 WinEdt 打出來的, 前一陣子張樹城老師不是有推薦 Scientific Workplace, 如果只是要用它來打 TeX, 用 LyX 就好.

但我還是捨不得 WinEdt, 原因一: 我的是花錢買的正版, 原因二: 當初花了很多時間輸入 Active String, 想讓自己打起來更快 e.g 打入 \frac 就會出現 {}{}, 游標跳回第一個 {} 中間. 原因三: 會用 WinEdt 就能用 LyX, 習慣 LyC 的便利後，哪天得用 WinEdt 就慘了. 原因四: WinEdt 可以用 Macro, 理論上功能比較強大，雖然我不會用.

我目前是折衷，照著草稿打就用 WinEdt, 如果想直接寫東西就用 LyX. 後者發生的機會較小，我目前只為了寫這篇介紹文打了一篇, 不過這解決了我長久以來的疑問，如何把兩個 metric 同時對角化?

http://www.math.columbia.edu/~yw2293/blog/diagonalizetwometrics.lyx