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我大學時念到Cantor關於無限大的那些研究，覺得蠻有趣的。

在他之前的人大都認為無限大是全然違反直覺的，無法以數學來研究它。可是Cantor用簡單的一個定義就把無限大分成兩類了，並且可以研究這兩類之間的差異以及基本性質。

Cantor的研究當然也對後續數學基礎的發展產生了很大的影響，例如他在某個程度上鼓舞了希爾伯特的夢想，也加強其他邏輯學家想要尋找真理的動力。

後來羅素發現了理髮師悖論，這是集合論的基本難題，以致於只能用類型論來規避（我想稱為規避比解決來得恰當。據說von Neumann有解決的辦法，但我沒看過。）

我一直在想，是不是我們也可以像Cantor一樣，將矛盾(和悖論)分類？

歷史上，約莫與羅素悖論同時，有另一個悖論稱為Berry悖論。這個悖論後來被認為是語言學悖論，而不算是集合論的悖論。先不管細節為何，這整個事件表示悖論是可以被分類的。但是似乎沒有人對悖論本身的結構做更深入的研究與分類。

雖然數學家們傾向於忽視這些擾人的集合論悖論，但後來出現了和數學分析較為相關的Banach-Tarski雙球悖論，這悖論向數學家宣告：不要輕易忽視矛盾在數學中的存在。

我們是不是需要下一位Cantor來拆解矛盾呢？

另一方面，從二十世紀初的集合論發展之際，哲學家就沒有缺席這場災難。雖然數學常常是走在哲學的前面，不過這次，二十世紀的數學家已經選擇停住腳步了，相反地，哲學家選擇用哲學的方式來繼續理解矛盾。

對哲學家來說，矛盾來自於無限。自從亞里斯多德提出第一因，並被中世紀晚期的經院哲學家利用之後，無限就被放在神的領域中。而隨著信仰被侵蝕，哲學家也必須正視因果律所帶來的無窮回溯問題。在這樣的情況下，胡塞爾提出了一招"存而不論"的方法，精確地將某些東西隔離，以確保其他部分(也就是事物的現象)的確定性。如此仍然沒有正視矛盾的問題。

而目前看來，另一個可能可以啟發數學家的哲學進路是詮釋學。詮釋學本來是一門文學理論，但後來被發現其理論基礎牽涉到非常深的哲學問題(以往是屬於知識論的範疇)，簡單來說：人如何能理解？

要理解一個東西必須先有其他先備知識，如果一直回溯，就會像是邏輯推理最後會回到公理一樣。於是我們可以發現詮釋學和集合論之間的關聯。而"必須有公理"這件事，等於是宣告我們不可能從"全然無知"變成"知道某些事情"，因為全然無知的人並不具備用以理解某事物所需的先備知識。然而理解確實是我們的生活經驗，我們的確是從什麼都不知道變成一個有知識的人，這到底是怎麼一回事呢？

所以詮釋學的進展，或許可以讓數學家對於某些矛盾有更深刻的理解。

除此之外，大多數的悖論來自於排中律。所以多值邏輯的發展似乎也可以派上用場。不過我自己是不看好這東西...。