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在2004年與2007年, Bray-Neves和Akutagawa-Neves利用inverse mean curvature flow來計算某些三維流形的Yamabe invariant Y(M). 由他們的工作可以得知, 除了S^3, S^2和S^1的可定向與不可定向積, 以及他們的connected sum之外, closed 3-manifolds的Yamabe invariant全小於等於Y(RP^3). (以下將Y(RP^3)記為Y_2.)

Yamabe invariant是Yamabe quotient Q(u)的inf. 因為我懶得研究怎麼放方程式, 所以就不寫下來了. 總之, 作者在3-mfd或它的covering上造了一個u, 使Q(u)小於等於Y_2.

重點是怎麼造u呢?

1. 首先, 找一個Green's function將流形M保角變換到asymptotically flat manifold with zero scalar curvature, 記做M*. 其中Green's function爆掉的那一點將被送到無窮遠. 如果先在M上另一處挖掉一個洞, 那他就變成是在M*中有限區域內的洞.

2. 找M*中最大的minimal surface S, 往外做inverse MCF, 記為S(t). 此處用的是Huisken和Ilmanen已經證明存在的弱解, 此解存在for all t, 並且S(t)={\phi=t}是某個函數\phi的level surface. 

3. 證明S的Hawking mass小於等於2. (Hawking mass is nondecreasing along such weak inverse MCF.)

4. 利用Hawking mass小於等於2得到mean curvature H的估計, 從而得到\phi的估計. 

5. u=f。\phi即是我們要的函數, where f can be found explicitly.

第一步是做Yamabe問題的標準做法, 此處不談. 第二步必須先證明minimal surface的存在性, 再驗證弱解存在的前提. 這也是文章的重點. 第三步不難, 略過不談. 第四步是純計算(利用\phi和mean curvature的關係算Yamabe quotient Q(u)=Q(f。\phi)), 此處也略. 第五步要驗證u有compact support(所以才能代進去Q), 有些情況下要乘上一個cut-off function才會對, 此處也不談.

總之, 我們只看第二步. 如果大空間的內部具有邊界(一些洞), 只要邊界是minimal surface, 則此弱解仍可以定義, 但是解的面積估計就和邊界有關. 我們可以想像一個漸漸往外flow的曲面, 突然地碰到一個洞(也就是大空間的邊界), 我們可以定義下一刻的解是瞬間包住那個洞, 然後繼續往外flow. 所以當邊界愈大時, 弱解的曲面面積上界估計也愈大. 這個誤差會反應在第四步中, 所以我們希望大空間沒有邊界, 或至少可以很小.

在第一篇文章中, 針對某些流形, 作者可以造一個沒有邊界的M*. 而第二篇文章, 對於更一般的流形, 他們考慮a sequence of normal coverings並證明當covering愈大時, 經過保角變換後的邊界面積可以任意小, 所以弱解的方法一樣可行. 然後再利用早已知的"M的Y必小於它的covering的Y"來得到原來流形的Yamabe invariant, i.e. Y(M)<Y(covering)小於等於inf Q(u)小於等於inf Q(f。\phi).

Reference.

1. Classification of prime 3-manifolds with σ-invariant greater than RP^3/ Hubert L. Bray and Andre Neves

2. 3-MANIFOLDS WITH YAMABE INVARIANT GREATER THAN THAT OF RP^3/ Kazuo Akutagawa & Andre Neves