其實我們想知道的是怎麼唸數學？
題外話，日前我聽一位法律系畢業的同學會定期在 google 鍵入自己的名字看搜尋到什麼，如有私人資訊就盡可能刪除。她日後是要當法官或檢察官的人，行事謹慎。我無聊就打了我自己、林立人、陳志偉、李國x，結果都不錯，我被搜到有 blogger 帳號(帳號不能刪除，就把本名欄位改掉)，之前參加社團被列在幹部名單，手機號碼(去年參加 Times Square 跨年，為了連絡方便)，台大數學系校友資訊。除了手機外其它無關痛癢，那些文章也刪不掉。你們三個名字太好了，除了國x有在教改小組外，好像沒有相關資訊。由於我們 blog 屬於機密，大家以後不要打我的名字吧！(我可以打你們的。尤其 color 幾乎所向無敵嘛。)
我下下週三要考口試，春假(下週)泡湯，糟糕的是我並沒從口試的準備學到太多。那三篇 oral 週記，私下反省都沒直指核心。接下來我列出的同學建議也不能完全解決問題(從小累積的壞習慣這麼容易改就太誇張了)，但他們雖然年紀比我輕，"學術生涯"也比我短，但看待人事總是比我成熟。
WY 昨天讓 Prof. Pxxxx 模擬口試。考 maximum principle(HL chapter 2)。他說當時心臟狂跳，還好 P 先從最簡單的 weak maximum principle 問起。接著 strong maximum principle, a priori estimate, Bernstein technique, Alexandrov maximum principle。
重點一：一定要會處理最簡單的 case。老師只會問這個，最 general 的 case 誰都記不起來，但老師們對最簡單的 case 熟到不行(好數學家的態度？)。PDE 是 Poisson equation: $\triangle u = f$(當然在 Schauder estimate 的例子行不通， Potential estimate 比 perturbation 還難)。譬如 P 要 WY 用 Bernstein technique 導出 Poisson equation 的 gradient estimate，他算到一半就慌了，許多 general coefficients $a^{ij}(x)$ 有的項都不見了，這時背越熟死得越慘，幸好最後是對的。口試時老師不會帶書去，如果可以隨便翻開一頁問，那沒人會過。
對這結論我挺有感觸。HL chapter 4 講 weak solution 的 sup-norm estimate, Harnick inequality, $C^{1, \alpha}$- regularity. 不像 GT，HL 只處理 $a^{ij}(x) D_{ij} u + c(x) u = f(x)$，到 $C^{1, \alpha}$-regularity 甚至 linear term $cu$ 都沒有，因此證明簡潔得多。跟 Schauder estimate 不一樣，當時 $b^i D_i u + c u$用 interpolation 很好處理，而做 $a^{ij}(x) D_{ij}u = f $ 時已經用過 interpolation 了。所以會做 $b^i = c = 0$ 等於會 general case. 但這裡假如有 c , 就非得像 GT 寫得那麼長了。我當時聽 WY 講得天花亂墜，這證明的 idea 多麼自然...心裡不大服氣，就挑戰他有 linear term 怎麼辦？他說不會做，so what？
對，so what。我現在會處理 general case。但一個月後，他還是會做 $a^{ij} D_{ij} u = f$，我卻什麼都記不起來了。
重點二：講自己會的東西。問大定理不會，就問可不可以算個例子; 叫你算個例子，會背定理，就寫定理出來。這跟第一點不衝突。XH 講的是代數幾何的例子，我不大懂。但說得誇張點就像老師叫你證 Hadamard-Cartan theorem(If sect(M) $\leq$ 0, then M has no conjugate point)，你就算 $R^n$ 給他看。
重點三：心裡默念：我過了。
重點四：老師會幫你(所以重點三不是鬼扯)。聽說近年來只有一個人口試沒過，而且在 Columbia 可以考兩次。當然這不代表我不是第二個。慢慢講，把東西寫清楚，當你卡住時，老師才能引導你。老師做研究這麼多年，偵錯能力很強，不要太離譜都救得回來。假如講太快，老師沒跟上，想幫也幫不了。慢慢寫的另一個好處是，我們口試的目的是兩小時內不要犯嚴重錯誤，不讓老師問太多我不會的問題，沒人說兩小時都講一些 trivial 的東西就不能過。有時只要能講到老師想聽的重點即可，不必把每個定理證完。XH 舉的例子是 dJ 問他 Serre duality，他當時腦中一片空白(他們代數幾何是 sheaf 版本，超難)，dJ 就叫他想 vector bundle 的 case. 還是不行，dJ 再問 $E \otimes E^*$ 讓你聯想到什麼？不行。那 vector space $V \otimes V^*$ 同構到什麼？他會了: End(V)。好，給你一個矩陣，最自然的 linear functional 是什麼？他答： Trace. dJ 說：很好，我們進行下一個問題...
重點四：不要講太順。Louis 口試時，第一個問題是有準備過的，講得非常流暢。dJ 很高興，說這學生程度不錯。接下來一個鐘頭，沒一個問題是 Louis 會的。中等難度的問題會，下一個就是難的。普通問題講的結結巴巴，接下來就不要問太難，免得學生下不了台。
重點五：考前先找老師，請他測驗一下。Urban 在 Xcy 考前把他叫進 office，說要看看他夠不夠格考口試。考試當天，committee 其他兩位教授問了一會，advisor 要義務性問些問題，Urban 就把那天問過的重問一遍。
除了重點一，其他都沒回答我們真正想知道的事。
我問 WY 怎麼講解一個很長的 estimate？
他說要把證明拆開。試著用不同方式去拆，證明反覆看，東拆西拆，總會得到正確的拆法。我從 P 那要學的，也是這精神。講課時一個個小引理列下來後，先把大定理證出來(通常已經很明顯了)。既然主要結果有了，剩下的小引理即使出點小錯，一時想不起來怎麼證也不會慌張，可以說下次再補證明，學生看到定理通過合理的步驟證出來，通常就很滿意，下堂課也忘記哪裡沒證了。重點是證明的 idea, 整體 picture。
我目前傾向列出小引理前講 idea，不要將 idea 穿插在細節之間。所以如何拆出小引理，讓自己的思路順著它們自然的走下去，就決定我們對定理的理解有多正確、有多深刻。WY 堅信我們現在學的 classical 定理和證明絕對很自然，重要的 idea 能在一兩句話講明白。因此他不喜歡 Yau 的某些工作，他覺得一大部分只是湊巧。(他可能是指 Harmonic functions on Riemannian manifold)這有點偏激，不過對定理有好惡利多於弊吧！
例：Moser iteration. The most crucial observation is we could control $L^p-$norm by $L^q-$norm for $q<p.$ Of course it doesn't come for free. We need to sacrifice something by shrinking our domain: $\|u\|_{p; B_r} \leq \frac{1}{(R -r)}\|u\|_{q; B_R}$. How could this happen? The equation! Let $u^\beta$ be the test function. We find the gradient can be control by $u$ to some power. The key tool-Sobolev inequality-then comes in, allowing us to get the desired higher $L^p-$ norm. The subtle construction of the test function and interpolation inequality just help handling the potential terms(the difficulty coming from b^i, c is relatively easy). Therefore a natural approach to illustratethe Moser iteration is to decompose it into two lemma.
Lemma1(HL, p.72 third line from the bottom)
$$\int |D(w\eta)|^2 \leq C\left{ (1 + \beta) \int w^2|D\eta|^2 + (1+ \beta) \int c_0 w^2 \eta^2 \right}$$
Lemma2(HL, p.73 last line)
$$\|\bar{u}\|_{L^{\gamma \chi}(B_r)} \leq \left( C \frac{(\gamma -1)^\alpha}{(R - r)^2}\right)^{1/\gamma} \|\bar{u}\|_{L^\gamma}(B_R)$$
Of course it takes more effort to explain because there are too many constants not defined in the statement of the theorem. But this should illustrate part of the point.
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