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給定一個流形，如果具有有界曲率（特別是當流形是compact），就可以做Ricci flow。

這個定理可以利用Local Ricci flow來弱化其條件為"曲率的某種積分有界"。

另外一方面，如果我們考慮的是，一個流形做了Ricci flow之後，什麼條件之下可以保證它一定可以再繼續flow？

可以想像這條件會比剛剛提到的更弱，因為現在的流形並不是任意給的，它本來就是flow所得到的流形。

利用Hamilton的收斂定理，我們早就知道，如果一個flow的曲率Rm在[0,T)上有一致的界，則這flow可以延擴到T時刻之後。

2003年，Perelman證明了compact流形的noncollapsing性質；

於是Sesum（田剛的學生）可以證明只要Ric在[0,T)上有一致的界，則Rm也會有界，於是也可以繼續flow。

她的證明是：

1. 假設無法繼續流，則Rm爆。將奇異點做(maximal point) blow up之後可以收斂（by Perelman）。

2. 因為Ric有界，所以limit manifold是Ricci flat。

3. 利用Glickenstein的結果，證明limit manifold是極大體積增長，所以是R^n。

4. 這樣就和blow up之後, max. pt.的曲率為1矛盾。

complete的情形是由Ma和Cheng在2008年證明。和上述情況唯一的不同是collapsing的問題。

因為Perelman的\kappa-noncollaping定理中的\kappa是依賴於一個奇異點附近的compact space-time domain，一般來說我們沒辦法得到這種東西。

所以Ma-Cheng考慮另一種收斂，這種收斂只需要曲率有界而不需要inj條件（由Glickenstein所證）。

原則上這樣的流形序列有可能會塌陷到一個低維metric space，但是Glickenstein已經證明在Ricci flow的情況下，它頂多只會差一個quotient。（這定理我現在才知道，但實在是一個強大的定理。）就這樣，complete的情況就可以用上面Sesum的方法來證。

2010年，Le和Sesum證明了在compact可以減弱為純量曲率有界。

他們依然是將奇異點blow up，然後得到矛盾。問題是現在只知limit manifold是scalar flat，沒辦法知道它就是R^n。

Le和Sesum的解法是：

1. 在type I的情況下證明這個limit manifold是shrinking soliton。（soliton只要R=0就有Rm=0。）證明是去看W-functional裡面的f。我們知道如果流形是soliton的話，這個f就是soliton上的potential函數。但是一般來說（也就是說流形不一定是soliton時），這個函數只滿足某個方程（backward heat eqn）。Le和Sesum證明這個函數在blow up的流形收斂時，也會收斂到一個好函數，並且就是一個potential函數。如此就知道流形是一個soliton。－－和blow up之後是Ricci flat矛盾了。

2. 對於type II，f已經沒辦法好好收斂。但是可以將它做點手腳（除上一個東西），讓它收斂到一個weak harmonic function。然後利用極限流形是Ricci flat（因為假設R有uniform的界，則limit流形是scalar flat，故Ricci flat），就知道極限函數是常數，如此便可以得出矛盾。

最後是complete的情況。type I的情況用Ma-Cheng的方法就過得去了。問題是Type II。所以我打算試試看可以做出什麼。我想我們的部落格人氣這麼低，先發表在這裡應該也不會被拿去做吧，哈哈。

最後一個有趣的問題：Le和Sesum證明了一個ancient solution是一個shrinking soliton。他們用了什麼條件呢？

這本來是一個猜想（也就是說所有的type I blow up limit都是shrinking soliton）。幾年前Aaron Naber和Joerg Enders各自用相同方法證出來了。Le和Sesum似乎是重證了一次（方法和Naber與Enders不同）。